§ 6. Другие способы представления дифракционного эффекта. Индицирование рентгенограмм

Уравнение Брэгга

В 1914 г. Брэгг предложил другую, более наглядную трактовку дифракции рентгеновских лучей в кристалле.

Выделим в трехмерной "решетке" одинаковых атомов какую-либо одну плоскую сетку атомов и рассмотрим рассеяние рентгеновских лучей отдельно этой сеткой (рис. 28, а). В соответствии с обычными законами оптики результатом совместного действия рассеянных лучей должно быть их отражение от плоскости под углом θ, равным углу падения. Представим теперь всю трехмерную атомную решетку как совокупность параллельных сеток. Лучи, отраженные последовательными сетками, не совпадают по фазе из-за различия в расстояниях от источника М до точки наблюдения N (рис. 28, б).

Они не будут гасить друг друга лишь при условии, что разность хода лучей, отраженных соседними плоскостями, составит целое число длин волн. Это условие можно записать в виде АВ+ВС=nλ. Учитывая, что AB=BC=dnk sin θ, получаем уравнение Брегга:

(20)

Оно определяет те углы θ, под которыми может происходить отражение от заданной серии сеток (hkl). Целое число n= 1, 2, 3,... называется порядком отражения. В кристалле можно провести множество серий узловых сеток разного наклона [с разными индексами (hkl)] и каждая серия в соответствии со своим d_nkl даст ряд отражений разного порядка. Для получения каждого отражения нужно либо придать кристаллу соответствующую ориентацию, либо подобрать нужную длину волны.

В целом трактовка Брэгга является лишь иной, более формальной интерпретацией той же дифракционной картины. Нетрудно установить и взаимосвязь между параметрами, характеризующими условия Лауэ и уравнение Брэгга. В условиям Лауэ фигурируют дифракционные индексы pqr, в уравнении Брэгга - индексы отражающей серии сеток (hkl) и порядок отражения n. Индексы h, k, l по определению равны числу частей, на которые разбиваются серией сеток (hkl) ребра а, b и с элементарной ячейки, а n - разность хода лучей, отраженных соседними плоскостями. Следовательно, nh, nk и nl отвечают разностям хода лучей, рассеянных атомами, отстоящими друг от друга на один период по осям X, Y и Z соответственно. Именно этот смысл имеют целые числа р, q, r в условиях Лауэ. Таким образом, р=nh, q=nk, r=nl.

Рис. 28. К выводу уравнения Брегга: a - рассеяние рентгеновских лучей двумерной сеткой атомов; б - дифракция от серии атомных (узловых) сеток