§ 5. Закрытые и открытые операции симметрии

Перечисленные операции симметрии называют закрытыми, поскольку они могут быть применены к ограниченному участку пространства.

Симметрические преобразования, свойственные только бесконечным по размерам фигурам, называют открытыми операциями симметрии. Таковыми являются: простые переносы (трансляции), скользящее отражение и винтовые повороты. Так, например, бесконечная (в одном измерении) фигура, показанная на рис. 6, а, может быть само совмещена переносами на расстояния t или 2t, 3t и т. д. или скользящим отражением (переносом, сопровождаемым отражением в плоскости, параллельной направлению переноса) со скольжением, равным 1/2t, 3/2t и т. д. Фигура, изображенная на рис. 6, б, может быть совмещена как переносами на t, 2t..., так и винтовым вращением, например поворотом на 90°, сопровождаемым смещением вдоль оси вращения на 1/4t.

Рис. 6. Скользящее отражение (а) и винтовое вращение (б)

Понятно, что винтовые оси, так же как и поворотные или инверсионные, могут иметь разный порядок n в соответствии со значением делителя окружности (360/n), отвечающего минимальному углу поворота в операции симметрии.

Рис. 7. Винтовые оси третьего, четвертого и шестого порядков

Оси винтового вращения (коротко - винтовые оси) обозначаются цифрами, отвечающими порядку оси, с цифровыми индексами: 2₁ - винтовая ось второго порядка; 3₁ и 3₂ - винтовые оси третьего порядка (право и левовращающая); 4₁, 4₂, 4₃ - оси четвертого порядка; 6₁, 6₂, ...,6₅ - оси шестого порядка. Индивидуальные особенности этих осей показаны на рис. 7.

Рис. 8. Плоскости скользящего отражения с осевым скольжением: а, б, в - a-скольжение; г - b-скольжение; д - с-скольжение

Рис. 9. Плоскости скользящего отражения с диагональным скольжением: а - n скольжение; б - d-скольжение

Для плоскостей скользящего отражения, так же как и для плоскости зеркального отражения (m), применяются буквенные обозначения, разные в зависимости от направления скольжения: а означает скольжение вдоль оси X; b - вдоль оси Y; с - вдоль оси Z, n или d - по направлению диагонали в координатной плоскости элементарной ячейки. При этом безразлично, как ориентирована сама плоскость скольжения. Так, например, все три плоскости скользящего отражения, изображенные на рис. 8, а, б, в, обозначаются как a-плоскости (скольжения вдоль оси X).

Величина смещения при осевом скольжении всегда составляет половину трансляции вдоль оси, при диагональном скольжении она равна либо половине диагонали ячейки (n-плоскость), либо одной четвертой ее (d- плоскость) (рис. 9, а, б).