§ 10. Координатные системы и метрика решеток

Как отмечалось выше, для задания решетки кристалла в общем случае необходимо указать три векторных параметра a, b, c или шесть скалярных: размеры трансляций а, b, с вдоль выбранных осей и углы между их направлениями α, β, γ. Любая ось симметрии (кроме оси первого порядка) вызывает, как известно, существование узловых рядов, параллельных и перпендикулярных этой оси. Обычно именно такие узловые ряды выбирают в качестве координатных осей кристаллической решетки (см. ниже), а это означает, что по крайней мере два из трех угловых параметров α, β, γ элементарной ячейки должны быть равны 90°. Кроме того, оси высших порядков уравнивают по величине те из трех осевых параметров а, b, с, которые лежат в плоскости, перпендикулярной главной оси, или располагаются равнонаклонно к ней. Таким образом не трансляционные элементы симметрии, фиксируя углы между осями и уравнивая размеры трансляций, уменьшают число независимых параметров решетки. Можно показать, что эти взаимосвязи между параметрами решетки имеют одинаковый характер для всех пространственных групп (и, соответственно, классов симметрии) одной и той же сингонии. Лишь в гексагональной сингонии замена оси симметрии шестого порядка на ось третьего порядка создает дополнительную возможность для кристаллов тригональной подсингонии (см. § 11). Поэтому возникает всего семь разных по метрике решеток: по одной для каждой сингонии и дополнительно вторая для тригональных кристаллов.

Для описания метрики этих решеток требуется условиться об общих правилах выбора координатных осей в кристаллах. Имеется довольно много разных формулировок этих правил, но, к сожалению, ни одна из них не охватывает все случаи в виде единого положения, а включает несколько соподчиненных правил и требует отдельных дополнительных оговорок для определенных случаев симметрии.

Поэтому предпочтительно не обсуждать этот вопрос, а оговорить способ проведения кристаллографических координатных осей для решеток каждой сингонии по отдельности. Соответствующие требования сформулированы в табл. 2 в колонке "Выбор осей". Так, например, в пространственных группах, относящихся к ромбической сингонии, всегда содержащих взаимно перпендикулярные поворотные, винтовые или инверсионные оси второго порядка, координатные оси направляются параллельно этим элементам симметрии. Следовательно, в группах ромбической сингонии кристаллографическая координатная система всегда ортогональна. То же от-носится, естественно, и к группам с более высокой симметрии средней и высшей категории. Наоборот, в группах моноклинной сингонии ось симметрии 2, 2₁ или 2 (т. е. m) фиксирует направление только одной из кристаллографических осей. Две другие располагаются в узловой сетке решетки, перпендикулярной оси симметрии (параллельной плоскости симметрии). Выбор узловых рядов этой сетки, принимаемых за координатные оси, вообще говоря, неоднозначен. Требуется лишь, чтобы наименьшие трансляции вдоль этих рядов образовали пустой параллелограмм (параллелограмм, в площади которого нет дополнительных узлов).

Таблица 2. Координатные системы, метрика решеток кристаллов разных сингоний и типы решеток по Бравэ

Для групп триклинной сингонии, где вообще нет осей симметрии (не считая 1 или ), выставляется лишь одно требование: примитивности (пустотности) параллелепипеда, построенного на кратчайших трансляциях вдоль узловых рядов, выбранных за координатные оси^*.

^* (Впрочем, для двух осей в кристаллах моноклинной сингонии и всех трех осей кристаллов триклинной сингонии часто выставляют: 1 - оси выбираются так, чтобы при соблюдении остальных требований углы между ними были возможно ближе к прямым; 2 - оси выбираются так, чтобы они отвечали минимальным по размеру трансляция (трем не компланарным - в триклинной сингонии, двум перпендикулярным заданной третьей, - в моноклинной сингонии.))

Взаимосвязь между параметрами решетки а, b, с ,α, β, γ возникающая в кристаллах, относящихся к кристаллам разных сингоний, представлена в табл. 2.