Глава 2

2.1. Когда в равенстве (2.5) а стремится к бесконечности, расстояние между уровнями с различными значениями r стремится к нулю. Поэтому при таких условиях энергия не квантована.

2.2. При обобщении равенства (2.5) на случай трехмерного кубического ящика с ребром 10^-13 см кинетическая энергия получится равной

Вычисления отличаются от проведенных в задаче 1.6 только тем, что знаменатель выражения для кинетической энергии не содержит π².

2.3. Уравнение Шредингера при нулевой потенциальной энергии в переменных θ имеет вид

Проверим, является ли решением этого уравнения Ψ_r = N sin rθ. Подставляя его в выражение (а), получим

что справедливо, если Е = h²r² / 8 π² m a². Столь же хорошим является решение Ψ_r' = N cos rθ, которое приводит к тому же выражению для энергии. На волновую функцию налагается граничное условие Ψ (θ) = Ψ (2π + θ). Это выполняется только в том случае, если r равно нулю или целому числу. Если r - целое число, то каждое состояние двукратно вырождено (функции Ψ_r и Ψ_r' соответствуют одной и той же энергии). В отличие от задачи с прямоугольной потенциальной ямой здесь существует решение при r = 0, т. е. Ψ₀ = N. Оно не вырождено и соответствует нулевой энергии. Равенство V = 0 означает, что кинетическая энергия равна нулю, что верно только в том случае, если импульс равен нулю. Если импульс в точности равен нулю, то неопределенность координаты частицы равна бесконечности. При этом не подразумевается, что Δθ = ∞; считается, что просто ничего не известно о положении электрона в кольце, что очевидно в случае, когда Ψ не зависит от θ. Нормировочная постоянная находится из условия

что дает N = π^-1/2 (решение в виде косинуса имеет ту же самую нормировочную постоянную).