Глава 6

6.1. Если Ψ_j - собственная функция оператора Β, то

что равно нулю в силу условия ортогональности.

6.2. Если ΒΨ_j = b_jΨ_j, то Β²Ψ_j = Βb_jΨ_j = b_jΒΨ_j = b_j²Ψ_j. Этот результат можно обобщить и показать, что b_jⁿ есть собственное значение оператора Βⁿ.

6.3. Оператор проекции импульса есть

Он имеет собственную функцию e^kx:

где k - действительная или комплексная постоянная. Однако если нас интересует собственная функция, которая конечна во всем интервале изменения х от -∞ до +∞, то к должно быть чисто мнимой величиной, например k = ik'. В этом случае собственная функция е^ik'x имеет действительное собственное значение k'h/2π.

6.4. Для одного электрона, имеющего потенциальную энергию V,

Единственным членом в H, не коммутирующим с x, является -

отсюда (Hx - xH) Ψ = -

Поэтому

Но

и

Поэтому левая часть равенства (а) принимает вид

что приводит к искомому выражению