Глава 9

9.1.

Отсюда

9.2.

дает ²D_5/2, ²D_3/2,

дает ⁶S_5/2.

9.3. Для двух электронов возможны синглетное (S₁ = 0) и триплетное (S₁ = 1) состояния. Комбинируя эти состояния со спином третьего электрона (S₂ = 1/2), имеем

Поэтому получаем квартет и два дублета.

9.4.

Эти состояния 1-15 имеют в точности те же значения М_L и M_S, что и приведенные в табл. 9.3. Следовательно, конфигурация р⁴ дает те же самые термы, что и конфигурация р².

9.5.

Методом, описанным для конфигурации р², можно показать, что конфигурация р³ дает термы ⁴S, ²D и ²Р.

9.6. Энергия уровня с квантовыми числами J, L, S относительно средней энергии терма равна [из выражения (9.20)]

Энергия уровня J - 1, L, S равна

Следовательно, E_J - E_J-1 = J h²/4π², что доказывает правило интервалов Ланде (стр. 162).

9.7. Оболочка, заполненная менее чем наполовину, дает нормальный мультиплет (наименьшему J соответствует самая низкая энергия), но если оболочка заполнена более чем наполовину, получается обращенный мультиплет (самая низкая энергия отвечает наибольшему J). Терм ²Р дает уровни ²Р_1/2 и ²P_3/2. Низший уровень для конфигурации р¹ есть ²Р_1/2, а для конфигурации p⁵ - ²P_3/2.

9.8. Конфигурация pd дает термы ³F, ³D, ³P, ¹F, ¹D, ¹P. Вследствие спин-орбитального взаимодействия они расщепляются в мультиплеты ³F₄, ³F₃, ³F₂; ³D₃, ³D₂, ³D₁; ³P₂, ³P₁, ³P₀; ¹F₃, ¹D₂; ¹Р₁. Для конфигурации 3p3d энергия межэлектронного взаимодействия много больше, чем энергия спин-орбитального взаимодействия; следовательно, уровни, имеющие одинаковые L и S, будут характеризоваться почти одинаковой энергией (энергия терма). Однако для конфигурации 3p6d спин-орбитальное взаимодействие будет больше, чем межэлектронное, и в этом случае энергия уровней зависит преимущественно от значений j обоих электронов. Электрону на р-орбитали (l = 1, s = 1/2) соответствует j = 3/2 или 1/2, а электрону на d-орбитали j = 5/2 или 3/2, Теперь получим четыре группы уровней (j₁ = 3/2, j₂ = 5/2; J = 4, 3, 2, 1), (j₁ = 3/2, j₂ = 3/2; J = 3, 2, 1, 0), (j₁ = 1/2, j₂ = 5/2; J = 3, 2), (j₁ = 1/2, j₂ = 3/2; J = 2, 1). Можно видеть, что наблюдается соответствие между значениями J, полученными из схем L - S- и j - j-связей.

9.9. Обозначим три р-орбитали символами φ₁, φ₀, φ_-1, где индекс снизу показывает значение m. Из табл. 9.3 видно, что состояние, в котором два электрона находятся на орбитали φ₁, должно быть компонентой ¹D-терма. Ему соответствует антисимметризованная волновая функция, обозначаемая F_2,2 (так как L = 2, M_L = 2):

где используется обозначение, введенное на стр. 114, согласно которому спин-орбиталь со спиновой частью β отмечается чертой сверху. Действуя на F_{2, 2} оператором L_- = L_x - iL_y, получим функцию F_{2, 1}, которая имеет L = 2, M_L = 1.

Пусть L_- = L_- (1) + L_- (2), где (1) и (2) означают два электрона. Из уравнения (9.21) видно, что

Отсюда

поэтому

Из уравнения (9.21) снова имеем L_- F_{2, 2} = 2 (h/2π) F_{2, 1}, и, следовательно,

что представляет собою волновую функцию ¹D-состояния с М_L = 1. Действуем теперь на F_{2, 1} оператором L_-. Имеем

Отсюда

следовательно,

Применяя оператор L_- еще два раза (или замечая, что F_{2, -1} и F_{2, -2} должны иметь такой же вид, как F_{2, 1} и F_{2, 2} с той разницей, что функции φ₁ заменены на φ_-1), имеем

9.10. Конфигурация р² дает термы ³Р, ¹D и ¹S, а конфигурация pd-термы ³F, ¹F, ¹D, ³D, ³Р, ¹Р. Правила отбора при рассел-саундерсовой связи таковы: ΔS = 0, ΔL = 0, ±1. Следовательно, возможны следующие переходы.

9.11. Терму ²Р соответствуют уровни ²Р_1/2, ²P_3/2 (см. задачу 9.7). Слабое магнитное поле Н^М будет расщеплять терм ²P_1/2 на два уровня с расстоянием между ними, равным gβH^M, где [см. выражение (9.27)]

Терм ²P_3/2 будет расщепляться на четыре равноотстоящих уровня с расстоянием между ними, равным gβH^M, где

9.12. Согласно выражению (9.42), предположим

и вычислим

Если теперь взять 1s-орбиталь в форме 1s = 2 ζ^3/2 e^-ζrΥ₀₀ (θ, φ) [см. уравнение (3.5) и табл. 3.2], где Υ₀₀ - нормированная сферическая гармоника, то интегрирование по угловым переменным приведет выражение (а) к виду

Вводя новые переменные s = 2 ζ r₁, t = 2 ζ t₂, имеем

Интегрирование по частям дает

Интегрирование по t приводит к выражению

9.13. Волновая функция ³S-состояния с проекцией спина M_S = 1 имеет вид

Тогда

Для получения двухчастичной плотности вероятности проведем суммирование по спиновым координатам и, так как α - нормированная функция,

Тогда, в силу ортогональности функций 1s и 2s,

Аналогичное выражение справедливо для Р(r₂). Отсюда следует, что